Limit Dan Fungsi

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.
Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.
Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19.

Sejarah

Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta.^[1] Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.
Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis.^[2] Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an^[3], dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.
Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.^[2]

Definisi

Berikut beberapa definisi limit fungsi yang umum diterima.

Fungsi pada garis bilangan riil

Bila f : R ${\displaystyle \rightarrow }$ R terdefinisi pada garis bilangan riil, dan p, L ${\displaystyle \in }$ R maka kita menyebut limit f ketika x mendekati p adalah L, yang ditulis sebagai:

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$

jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga |x - p|< δ mengimplikasikan bahwa |f (x) - L | < ε . Di sini, baik ε maupun δ merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai f (p)

Limit searah

Limit saat: x → x₀⁺ ≠ x → x₀^-. Maka, limit x → x₀ tidak ada.

Masukan x dapat mendekati p dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai

${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L}$

atau

${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L}$

Bila kedua limit ini sama nilainya dengan L, maka L dapat diacu sebagai limit f(x) pada p . Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan L, maka limit f(x) pada p tidak ada.
Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit f(x) saat x mendekati p dari atas adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |f(x) - L| < ε pada saat 0 < x - p < δ. Limit f(x) saat x mendekati p dari bawah adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga |f(x) - L| < ε bilamana 0 < p - x < δ.
Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.

Limit fungsi pada ketakhinggaan[sunting | sunting sumber]

Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.

Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.
Bila f(x) adalah fungsi riil, maka limit f saat x mendekati tak hingga adalah L, dilambangkan sebagai:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}$

jika dan hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat S > 0 sedemikian rupa sehingga |f (x) - L| < ε bilamana x > S.
Dengan cara yang sama, limit f saat x mendekati tak hingga adalah tak hingga, dilambangkan oleh

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,}$

jika dan hanya jika bila untuk semua R > 0 terdapat S > sedemikian sehingga f(x) > R bilamana x > S.

Rumus biasa

${\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits _{x\to p}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)+\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)-\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)\cdot g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)/g(x))&=&{\lim \limits _{x\to p}f(x)/\lim \limits _{x\to p}g(x)}\end{matrix}}}$

Rumus

${\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {x}{\sin x}}&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\sin x}{x}}&=1\\\lim \limits _{x\to \infty }&x\sin({\frac {1}{x}})&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {ax}{\sin bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\sin ax}{bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\frac {ax^{m}+b}{px^{n}+q}}&={\frac {a}{p}},\qquad m=n\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}-{\sqrt {px^{2}+qx+r}}&={\frac {b-q}{2{\sqrt {a}}}},\qquad a=p\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\sqrt[{3}]{ax^{3}+bx^{2}+cx+d}}-{\sqrt[{3}]{px^{3}+qx^{2}+rx+s}}&={\frac {b-q}{3{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}},\qquad a=p\\\lim \limits _{x\to \infty }&(1+{\frac {1}{x}})^{x}&=e\\\lim \limits _{x\to 0}&(1+x)^{\frac {1}{x}}&=e\\\lim \limits _{x\to \infty }&(1+{\frac {a}{x}})^{bx}&=e^{ab}\\\lim \limits _{x\to 0}&(1+ax)^{\frac {b}{x}}&=e^{ab}\\\end{matrix}}}$

Grafik Dan Fungsi

Pengertian Grafik, Definisi Fungsi Jenis Grafik – Taukah kamu apa pengertian grafik itu? Atau taukah kamu tentang jenis-jenis grafik? Nah dalam artikel ini akan dibahas tentang pengertian grafik dan jenis-jenisnya. Kita pasti sering mendengar dari guru matematika tentang grafik dan diagram. Grafik di pelajari pada mata pelajaran matematika SMP dan SMA. Nah,  sekarang marilah kita bahas apakah grafik itu dan apasaja sih jenis-jenisnya.

Pengertian Grafik

Grafik adalah penyajian data yang terdapat dalam table yang ditampilkan ke dalam bentuk gambar. Selain itu grafik juga dapat diartikan sebagai suatu kombinasi data-data baik berupa angka, huruf, simbol, gambar, lambang, perkataan, lukisan, yang disajikan dalam sebuah media dengan tujuan memberikan gambaran tentang suatu data dari penyaji materi kepada para penerima materi dalam proses menyampaikan informasi.

Adapun pengertian grafik lainnya yaitu grafik merupakan suatu rangka yang digunakan untuk membentuk objek visualisasi dari data sebuah table. Data dalam table yang dimaksut disini ialah data yang terdiri dari angka-angka dan dapat kita tampilkan ke dalam bentuk gambar, bisa dalam berbentuk bidang datar seperti persegi, lingkaran, segitiga, atau kedalam bentuk bangun ruang seperti balok, tabung, kerucut dll.

Selain itu ada pula definisi grafik yang lain yaitu grafik merupakan gambaran dari pasang surutnya suatu data yang ada, dan digambarkan dengan garis ataupun gambar. Secara garis besar grafik dapat dibedakan menjadi 3 (tiga) macam, yaitu: Grafik batang, grafik garis, dan grafik lingkaran. Adapun pengertian dari masing-masing jenis grafik akan kita bahas sebagai berikut:

  Pengertian Besaran dan Satuan Fisika Menurut

1. Grafik batang

Grafik batang adalah grafik yang penyajian datanya mengunakan batang  atau persegi panjang. Grafik batang atau sering kita kenal dengan sebutan histogram. Grafik batang  dipakai untuk memperlihatkan perbedaan tingkat nilai dari beberapa aspek pada suatu data. Grafik batang merupakan grafik yang paling sederhana diantara jenis-jenis grafik lainnya. Karena grafik ini sangat mudah untuk dipahami dan hanya menggambarkan data dalam bentuk batang.

Panjang batang merupakan gambaran dari presentase data, sedangkan lebar batang tidak berpengaruh apa-apa. Namun, pada umumnya data yang dapat kita bandingkan dengan grafik ini tidak bisa banyak, maksimal data yang dapat kita bandingkan hanya delapan data. Untuk dapat  memperjelas perbandingan antara data satu dengan yang lain maka setiap batang harus memiliki warna-warna yang berbeda.

2. Grafik Garis

Grafik garis adalah grafik yang penyajian datanya mengunakan garis atau kurva. Grafik garis banyak digunakan untuk menggambarkan suatu perkembangan atau perubahan dari waktu ke waktu pada sebuah objek yang di teliti. Garfik ini terdiri dari 2 sumbu utama yakni sumbu X dan sumbu Y. Untuk pengunaaanya sumbu X biasanya digunakan untuk menunjukkan waktu pengamatan. Sedangkan sumbu Y digunakan untuk menunjukkan nilai hasil pengamatan pada waktu-waktu tertentu.  Waktu dan hasil pengamatan dikumpulkan dengan titik-titik pada bidang XY.

  Pengertian Populasi, Definisi, Sample + Teknik Sampling

Kemudian dari tiap-tiap titik yang berdekatan dihubungkan dengan garis sehingga akan menghasilkan garfik garis atau sering disebut juga diagram garis. Misalnya, kita akan membuat  garfik garis dari data pengunjung situs facebook dari hari senin sampai sabtu. Pada sumbu x kita dapat menulisakan tahun mulai dari senin sampai sabtu dan pada sumbu y kita dapat menuliskan angka atau nilai hasil yang diperoleh. Biasanya angka tersebut berupa sekala mulai dari 0 sampai angka hasil tertinggi yang diperoleh dalam penelitian. Contoh : 0,50, 100, 150, 200, dst.

3. Grafik lingkaran

Grafik lingkaran adalah grafik yang penyajian datanya mengunakan lingkaran. grafik lingkaran merupakan gambaran naik turunnya data yang berupa lingkaran untuk menggambarkan persentase dari nilai total suatu data. Dalam membuat grafik lingkaran ada beberapa hal yang harus kita perhatikan yakni, kita tentukan terlebih dahulu besar persentase tiap objek terhadap keseluruhan data  dan kemudian kita tentukan besarnya sudut masing-masing kelompok data. Untuk menetukan presentase suatu kelompok data dapat kita laukan dengan cara jumlah suatu kelompok data di bagi dengan jumlah total seluruh data di kali 100%.

Dan untuk menentukan besar sudutnya dapat kita lakukan dengan cara membagi hasil presentase kelompok data dengan 360.  Yang kedua kita tentukan warna masing-masing kelompok data. Warna tersebut digunakan untuk mebedakan antara kelompok data satu dan lainnya. Misalnya, kita akan membuat diagram lingkaran dari data Pengasilan masyarakat desa Karangdoro. Macam-macam penghasilan yang kita peroleh kita kelompokkan berdasarkan jenisnya. Lalu kita tentukan presentase, besar sudut dan warna dari masing-masing hobi dengan cara seperti yang sudah di jelaskan.

  Pengertian Konduksi, Konveksi, Radiasi Menurut Ahli

Tujuan Pembuatan grafik

Tujuan dari pengunaan grafik dalam penyajian data ialah untuk menunjukkan perbandingan  antara data satu dengan data yang lain secara informasif yang kualitatif dengan tampilan yang  sederhana. Data-data yang berupa uraian deskriptif yang banyak dan juga kompleks bisa diubah menjadi bentuk yang sederhana dengan menggunakan grafik. Sehingga jika sebuah grafik sulit dibaca atau dipahami berarti garfik tersebut sudah kehilangan manfaatnya.

Fungsi Grafik

Fungsi dari grafik adalah untuk menggambarkan data-data yang berupa angka-angka kebetuk yang lebih sederhana secara teliti dan menjelaskan perkembangan serta perbandingan suatu obyek ataupun peristiwa yang saling berhubungan secara singkat dan jelas. Jadi dapat disimpulkan fungsi grafik:

• Menggambarkan data kuantitatif dengan betuk sederhana namun teliti.
• Menjelaskan perkembangan, perbandingan suatu obyek ataupun peristiwa yang saling berkaitan secara singkat, padat dan jelas.

Sekian pembahasan mengenai pengertian grafik dan jenis-jenisnya, semoga dapat bermanfaat.

Pencarian :pengertian grafik ,fungsi grafik ,grafik adalah ,grafik batang ,macam macam grafik ,Grafik garis ,Apa itu grafik ,jenis grafik ,definisi grafik ,grafik lingkaran