Senin, 20 Mei 2019

Bentuk Tak Tentu

Bentuk Tak Tentu

BAB 2 BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRAL TAK WAJAR
  • Bentuk Tak Tentu
Pada limit fungsi trigonometri, telah dipelajari bahwa :
8_2
Perhatikan bentuk limit ini untuk x→0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :
2
Pada bab ini kita hanya membahas empay bentuk yang pertama saja. Bentuk tak tentu lainnya melibatkan fungsi berpangkat fungsi, penyelesaiannya memerlukan konsep logaritma natural dan teorema L’Hospital. Permasalahan ini akan kita bahas pada penggunaan fungsi transenden dalam perhitungan limit fungsi.
Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :
3
Berikut beberapa bentuk sekaligus contoh dalam integral tak tentu :
1.Bentuk tak tentu 0/0 :
9
Report this ad
Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.
Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :
Contoh Bentuk 0/0 :
4a
2. Bentuk tak tentu  ∞/∞ :
10
Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.
Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut :
Contoh Bentuk ∞/∞ :
5
3. Bentuk tak tentu 0.∞ :
 11
Contoh Bentuk tak tentu 0.∞ :
6
4. Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ :
12
Contoh Bentuk   ∞ – ∞ :
7
Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Selasa, 14 Mei 2019

Bentuk Tak Tentu Limit Fungsi


Bentuk Tak Tentu


BAB 2 BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRAL TAK WAJAR
  • Bentuk Tak Tentu
Pada limit fungsi trigonometri, telah dipelajari bahwa :
8_2
Perhatikan bentuk limit ini untuk x→0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :
2
Pada bab ini kita hanya membahas empay bentuk yang pertama saja. Bentuk tak tentu lainnya melibatkan fungsi berpangkat fungsi, penyelesaiannya memerlukan konsep logaritma natural dan teorema L’Hospital. Permasalahan ini akan kita bahas pada penggunaan fungsi transenden dalam perhitungan limit fungsi.
Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :
3
Berikut beberapa bentuk sekaligus contoh dalam integral tak tentu :
1.Bentuk tak tentu 0/0 :
9
Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.
Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :
Contoh Bentuk 0/0 :
4a
2. Bentuk tak tentu  ∞/∞ :
10
Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.
Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut :
Contoh Bentuk ∞/∞ :
5
3. Bentuk tak tentu 0.∞ :
 11
Contoh Bentuk tak tentu 0.∞ :
6
4. Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ :
12
Contoh Bentuk   ∞ – ∞ :
7
REPORT THIS AD
Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri 

Pengertian Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri adalah turunan yang fungsi sinus dan kosinus, yang di dapat dari konsep limit atau persamaan turunan yang melibatkan fungsi – fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.
Jika y=sin x maka y’ = cos x

Jika y=cos x maka y’ = –sin x

Dari rumus dasar diatas tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yaitu turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut ialah ;
y = tan x maka y’ = sec2x
y = cot x maka y’ = – cosec2x
y = sec x maka y’ = sec x . tan x
y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x
Maka, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yaitu sebagai berikut ini ;
Misalkan u(x) merupakan fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk y= f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)
y’= (cos u)(u’)
y’= u’.cos u
Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u merupakan fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka didapatkan ;

turunan fungsi trigonometri
turunan fungsi trigonometri

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut ini ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang harus diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri ;
  • Jika f(x)= sin x → f ‘(x) = cos x
  • Jika f(x)= cos x → f ‘(x) = −sin x
  • Jika f(x)= tan x → f ‘(x) = sec2 x
  • Jika f(x)= cot x → f ‘(x) = −csc2x
  • Jika f(x)= sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
  • Jika f(x)= csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x.
Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 1
Misalkan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ merupakan turunan u terhadap x, maka ;
  • Jika f(x)= sin u → f ‘(x) = cos u . u’
  • Jika f(x)= cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
  • Jika f(x)= tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
  • Jika f(x)= cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’
  • Jika f(x)= sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
  • Jika f(x)= csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’.
Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 2
Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b ialah bilangan real dengan a≠0 ;
  • Jika f(x)= sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)
  • Jika f(x)= cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
  • Jika f(x)= tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)
  • Jika f(x)= cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)
  • Jika f(x)= sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
  • Jika f(x)= csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b)

Contoh Soal

  1. Turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x) adalah f ‘ (x) =  …..
  • 35 sin (5 – 3x)
  • – 15 sin (5 – 3x)
Jawab ;
ingat
 
maka ;
2. Jika f ‘(x) merupakan turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka f ‘ (x) adalah …
  • 3 cos( 2x + 1 )
  • 6 cos( 2x + 1 )
  • 3 sin( 2 x + 1 ) + (6 x – 4) cos (2 x + 1)
  • (6x –4) sin ( 2x + 1 ) + 3 cos ( 2x + 1 )
  • E. 3 sin( 2x + 1) + ( 3x – 2 ) cos( 2x + 1 ).
Jawab ;
 kita misalkan terlebih dahulu
ingat rumus turunan perkalian dua fungsi ;
Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Turunan Fungsi

Turunan Fungsi

Pengertian Turunan

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.
Pada fungsi y = f(x), turunan dari variabel y terhadap variabel x dinotasikan dengan \frac{dy}{dx} atau  \frac{df(x)}{dx}atau y’ dan didefinisikan sebagai:
f'(x) =\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar

Dengan definisi turunan akan dicari rumus-rumus turunan fungsi aljabar yang terdiri dari fungsi pangkat f(x) = x^n, hasil kali fungsi f(x) = u(x) . v(x), hasil pembagian fungsi  f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}, dan pangkat dari fungsi f(x) = (u(x))^n.

1. Rumus turunan fungsi pangkat f(x) = x^n

Fungsi berbentuk pangkat turunannya dapat menggunakan rumus f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} sebagai:
f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - (x)^n}{h}
= \lim \limits_{h \to 0}\frac{\sum^n_{i=0}C^n_ix^{n-i}h^i-x^n}{h}
= \lim_{h \to 0}\frac{C^n_0x^n+C^n_1x^{n-1}h+C^n_2x^{n-2}h^2+\cdots+C^n_nh^n-x^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})
= nx^{n-1}+0+0+\cdots+0=nx^{n-1}
Jadi rumus turunan fungsi pangkat adalah:
f'(x ) = nx^{n-1}

2. Rumus turunan hasil kali fungsi f(x) = u(x) \cdot v(x)

Fungsi f(x) yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), turunannya didapat dengan:
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}
\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}
=\lim\limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)]}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)[v(x+h)-v(x)]}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h}
= \lim \limits_{h\to0}u(x+h) \cdot \lim \limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim_{h\to0}v(x)
= u(x+0) \cdot v'(x)+u'(x) \cdot v(x)
u'(x).v(x)+u(x).v'(x)\overset{atau}{\rightarrow}u'.v+u.v'
Jadi rumus turunan fungsinya adalah:
f'(x)=u'v+uv'

3. Rumus turunan fungsi pembagian f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}

f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\overset{menjadi}{\rightarrow}\lim \limits_{h\to0}\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}
sehingga
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)}
Jadi rumus turunan fungsinya adalah
f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}

4. Rumus turunan pangkat dari fungsi f(x)=(u(x))^n

Ingat jika f(x) = x^n, maka:
f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \frac{dx^n}{dx} = nx^n-1
Karena f(x) = (u(x))^n=u^n, maka:
f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}
Atau
f'(x) = \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} = nu^{n-1} \cdot u'
Jadi rumus turunan fungsinya adalah:
f'(x) = nu^(n-1) \cdot u'
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)