Matriks Dan Determinan

PENGERTIAN MATRIKS

       Matriks adalah susunan bilangan real (kompleks) berbentuk empat persegi panjang dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun atas m (baris) dan n (kolom) maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo) m x n. 
       Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A,B,C dan seterusnya dan elemen martiks digunakan lambang huruf kecil a,b,c dan seterusnya. Bagian mendatar disebut baris dan bagian tegak disebut kolom dan Indeks I menyatakan baris dan Indeks J menyatakan kolom.
 
 
JENIS JENIS MATRIKS

1. Matriks Bujur Sangka
Matriks yang jumlah barisnya sama dengan kolom. Matriks ini dikenal dengan istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang berukuran nxn.
 
2.  Matriks Diagonal                  
Matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Tidak diisyaratkan bahwa elemen diagonal tak harus nol.
contoh:

 



3. Matriks  Nol
Matriks yang semua elemennya bernilai nol.
contoh:
 

4. Matriks Segitiga 
Matriks bujur sangkar yang elemen elemen dibawah atau diatas elemen-elemen diagonal yang bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen-elemen yang dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas, sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Diisyaratkan elemen diagonal tidak harus bernilai nol.

 KET:

A : Matriks Segitiga Bawah
B : Matriks segitiga Atas
C : Matriks segitiga Atas & Bawah

5. Matriks Identitas
Matriks diagonal yang elemen diagonal bernilai 1.
contoh :

6. Matriks Kolom
Matriks yang terdiri dari kolom.



7. Matriks Baris
Matriks yang terdiri dari baris.
contoh: 
        
      A =  (  1  2  3  4  )

8.  Matriks Tegak
Matriks yang baris lebih banyak dari kolom.
contoh:




9. Matriks Datar
Matriks yang baris lebih sedikit dari kolom.
contoh:



  
 10. Transpose Matriks ( )

Transpose Matriks diperoleh dengan cara menukar elemen pada baris menjadi elemen pada kolom.
contoh:
 
 
11. Matriks Simetris  (   )

Matriks bujur sangkar yang elemen simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.
contoh:
 

12. Matriks Tridiagonal
Matriks bujur sangkar yang semua elemen-elemennya = 0 kecuali pada diagonal utama serta samping kanan dan kirinya.
contoh:
 


Operasi Aritmatik Matriks

1. Penjumlahan Dua Buah Matriks
Dua buah matriks dapat dijumlahkan asalkan memilki ukuran yang sama. Hasil penjumalahan dua buah matriks menghasilkan sebuah matriks baru yang berukuran sama dengan matriks yang dikalikan.
contoh:

 


 














2. Perkalian Dua Buah Matriks 
Dua buah matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama samadengan jumlah baris kedua.
contoh:

 

3. Perkalian Matriks Dengan Skalar
Perkalian matriks dengan skalar adalah mengalikan setiap elemen pada matriks dengan nilai skalar yang ditentukan.
contoh:

 

Pengertian Determinan

      Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. Determinan matriks A ditulis dengan tanda det(A), det A, atau [A]. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan tranformasi yang digambarkan oleh matriks.

Apabila Matriks berbentuk 2x2, rumus untuk mencari determinan:
 
Apabila Matriks berbentuk 3x3, rumus untuk mencari determinan:




Mengunakan  Cara Sarrus
Metode sarrus hanya untuk matriks berdimensi 3x3
Contoh:

Menggunakan Cara Laplace
- Minor 
Definisi Minor adalah Determinan Submatriks persegi setelah salah satu baris dan kolonya dihilangkan. Minor dilambangkan dengan "Mij" dimana "i" sebagai baris dan "j" sebagai kolom matriks yang dihilangkan. Baris dan kolom yang dihilangkan bukan berarti dibuang melainkan hanya tidak ikut sertakan dalam submatriks baru.
contoh:

M23 determinan matriks yang berordo (3x3) baris ke-2 dan kolom ke-3 adalah matriks yang dihilangkan. 

-Kofaktor  
Dalam Kofaktor, elemen minor matriks dapat bernilai positif dan negatif. Kofaktor dilambangkan dengan "Cij" dan dapat dihitung dengan rumus:

contoh:

M21 baris ke-2 dan kolom ke-1 dihilangkan