Selasa, 23 Oktober 2018

Sistem Persamaan Linear

METODE ELIMINASI GAUSS

Eliminasi gauss pertama kali sudah dikenal sejak tahun 179 M oleh matematikawan asal Tionghoa, namun lebih disempurnakan lagi oleh matematikawan kelahiran Jerman Carl Friedrich Gauss ( 1777 - 1855). Eliminasi gauss yaitu suatu cara untuk mengoperasikan nilai - nilai didalam sebuah matriks, sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya dengan menggunakan operasi elementer sampai hasilnya menjadi matriks yang eselon baris. Eliminasi ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan soal persamaan linear dengan memasukkan persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya yaitu dengan mengubah persamaan linear tersebut menjadi sebuah matriks yang teraugmentasi dan mengoperasikannya sehingga menjadi matriks yang eselon baris. Kemudian setelah menjadi matriks eselon baris, kita dapat mencari nilai variabel - variabel tersebut dengan cara mensubtitusikannya.

Ciri - ciri metode gauss :

Dalam metode ini terdapat tiga jenis operasi yang dapat digunakan yaitu :

Mengganti urutan dua baris
Mengalikan baris dengan angka yang bukan nol
Menambah suatu baris dengan baris yang lainnya

Contoh Soal :

Diketahui SPL 3 variabel

2x + 3y - z = 6

x + 2y - 4z = 8

x + y + 4z = 4

Tentukan nilai dari variabel - variabel SPL diatas !

Penyelesaian :

Tahap Pertama

Mengubah persamaan linear tersebut menjadi sebuah matriks yang teraugmentasi

Tahap Kedua

Mengubah baris pertama kolom pertama ( a11 ) menjadi angka 1

Hasil dari a11, a12, a13 dan a14 ini akan menjadi baris pertama ( b1 ) dan untuk bilangan lainnya tetap sama.

Tahap Ketiga

Mengubah baris ke-2 pada kolom pertama ( a21 ) menjadi angka nol dan mengubah baris ke-2 pada kolom ke-2 ( a22 ) menjadi angka 1

Hasil dari a21, a22, a23 dan a24 ini akan menjadi baris ke-2 ( b2 ), nilai untuk bilangan lainnya tetap sama.

Tahap Keempat

Mengubah baris ke-3 pada kolom pertama ( a31 ) dan baris ke-3 pada kolom ke-2 ( a32 ) menjadi angka nol dan baris ke-3 pada kolom ke-3 ( a33 ) menjadi angka 1

Hasil dari a31, a32, a33 dan a34 ini akan menjadi baris terakhir atau baris ke-3 ( b3 ).

Tahap Terakhir

Setelah melengkapi ciri - ciri dari eliminasi gauss dan mendapatkan matriks yang eselon baris, kita dapat melanjutkannya dengan mencari nilai variabel x, y dan z dengan mensubstitusikannya. Caranya yaitu :

Dari matriks diatas maka didapatkan SPL 3 variabel yang baru yaitu :

x + y + 3z = -2

y - 7z = 10

z = 6

Kemudian kita harus mensubstitusikan persamaan linear diatas untuk memperoleh nilai variabel x, y dan z. karena nilai z sudah diketahui yaitu :

z = 6

Maka, langkah selanjutnya adalah mencari nilai dari variabel y dengan mensubtitusikannya dengan persamaan linear dengan persamaan pada baris ke-2.

y - 7z = 10

y - 7(6) = 10

y - 42 = 10

y = 10 + 42

y = 52

Dan terakhir kita akan mencari nilai dari variabel x dengan mensubstitusikannya dengan persamaan linear pada baris pertama.

x + y + 3z = -2

x + 52 + 3(6) = -2

x + 52 + 18 = -2

x + 70 = -2

x = -2 - 70

x =-72

dengan ini maka, kita sudah mendapatkan nilai - nilai dari variabel diatas yaitu x = -72, y = 52 dan z = 6 .

ELIMINASI GAUSS-JORDAN

Eliminasi gauss-jordan ini adalah pengembangan dari eliminasi gauss yang hasilnya lebih disederhanakan lagi. Metode ini dimodifikasi oleh Wilhelm Jordan seorang insinyur Jerman pada tahun 1887. Dengan metode ini selain dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear juga dapat digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Sehingga untuk mengoperasikan persamaan linear cara penyelesaiannya pun hampir sama dengan metode gauss, namun pada metode gauss kita hanya menghasilkan matriks yang eselon baris sedangkan metode eliminasi gauss-jordan ini perbedaanya hanya kita harus membuat elemen elemen diatas maupun dibawah diagonal utama menjadi bernilai nol. Sehingga hasilnya menjadi matriks eselon yang tereduksi yaitu menjadi sebuah matriks dengan diagonal satuan atau matriks identitas ( semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, sedangkan elemen lainnya bernilai nol ). Tahap pengerjaanya sama dengan metode sebelumnya yaitu eliminasi gauss menggunakan cara elementer.

Contoh soal :

Diketahui SPL 3 variabel

x + 3y + 2z = 4

2x + 7y + 4z = 6

2x + 9y + 7z = 4

Tentukan nilai dari variabel - variabel persamaan linear diatas !

Penyelesaian :

Tahap Pertama

Sama seperti metode gauss, pertama kita harus mengubah persamaan linear 3 variabel diatas menjadi sebuah matriks yang teraugmentasi.

Tahap Kedua

Karena baris pertama pada kolom pertama ( a11 ) sudah bernilai 1. Maka, kita akan mengubah baris ke-2 ( b2 ) terlebih dahulu.

Hasil dari a21, a22, a23 dan a24 akan menjadi baris ke-2 ( b2 ) dan untuk elemen lainnya tetap sama.

Tahap Ketiga

Selanjutnya kita akan mengubah nilai pada baris ke-3 ( b3 ).

Hasil dari a31, a32, a33 dan a34 akan menjadi baris ke-3 ( b3 ).

Tahap Keempat

Karena baris pertama pada kolom ke-2 ( a12 ) dan baris pertama pada kolom ke-3 ( a13 ) belum bernilai nol, maka kita masih harus mengoperasikannya agar bernilai nol sehingga menjadi matriks yang tereduksi.

Hasil dari a11,a12,a13 dan a14 ini akan menjadi baris ke-1 ( b1 ).

Hasil dari a11, a12, a13 dan a14 ini akan menjadi tahap terakhir untuk mengoperasikan baris pertama ( b1 ), sehingga kita sudah mendapatkan matriks yang tereduksi.

Tahap Terakhir

Setelah kita menghasilkan matriks eselon tereduksi yang membentuk sebuah matriks identitas seperti diatas, maka kita tidak perlu mensubstitusikannya seperi pada eliminasi gauss karena, sudah dapat diketahui nilai variabelnya yaitu : x = 26, y = -2 dan z = -8 .

METODE SARRUS

Metode ini ditemukan oleh matematikawan Prancis yang bernama Pierre Frederic Sarrus. Metode sarrus adalah salah satu cara yang digunakan untuk mencari determinan dari suatu matriks yang dapat digunakan pada matriks berordo 3 x 3. caranya adalah sebagai berikut :

Jadi, untuk menghitung determinan dari suatu matris kita perlu menjumlahkan semua diagonal pertama dan semua diagonal kedua juga dijumlahkan. Kemudian hasil dari diagonal pertama dikurangi dengan hasil dari diagonal kedua. Untuk lebih jelasnya langsung saja kita ke contoh soal :

Diketahui sebuah matriks

Jadi, dengan ini kita sudah mendapatkan nilai determinan pada matriks Z adalah -13. Metode sarrus ini adalah cara paling mudah yang dapat kita gunakan untuk mencari determinan dari matriks yang berordo 3 x 3.

METODE CRAMER

Metode cramer ini ditemukan oleh matematikawan Swiss yang bernama Gabriel Cramer. Metode cramer adalah salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear yang terdiri dari beberapa persamaan dan variabel yang tidak diketahui.

Jika persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dan n variabel yang tidak diketahui dinyatakan dengan Ax = b dan det(A) ≠ 0, maka persamaan tersebut mempunya penyelesaian :

Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dari mengganti kolom ke-j pada matriks A dengan elemen pada matriks b.

Contoh soal :

Sebagai contoh saya akan menggunakan Variabel x, y dan z

Diketahui :

-2x + 3y -z = -4

4x - y + 4z = 8

2x + 4y + 16

Tentukan nilai variabel dari SPL 3 variabel diatas dengan menggunakan metode cramer !

Penyelesaian :

Tahap Pertama

mengubah persamaan linear diatas kedalam sebuah matriks

Tahap Kedua

Mencari determinan dari matriks A

Tahap Ketiga

Mencari nilai dari variabel x

Tahap Keempat
Mencari nilai dari variabel y

Tahap Kelima
Mencari nilai variabel z

Maka dengan ini sudah dapat kita ketahui bawa nilai dari variabel x = 8,8, y = 8 dan z = -2,4 .

Minggu, 14 Oktober 2018

Invers matriks menggunakan metode adjoin, Perkalian Elementer dan patrisi

Invers Matriks menggunakan metode adjoin dengan n=4

Cara paling mudah adalah dengan metode Sarrus
Determinan berdasarkan gambar di atas:

Sedangkan Matriks Inversnya:

Dengan b₁₁ hingga b₄₄ diperoleh dari perhitungan:

Matriks Elementer

Matriks elementer adalah matriks identitas yang dikenai satu kali OBE.
Contoh :
$I_3=\begin{bmatrix} \;1\;\;0\;\;0\; \\ \;0\;\;1\;\;0\;\\ \;0\;\;0\;\;1\; \end{bmatrix}\;\;E_2_3=\begin{bmatrix} \;1\;\;0\;\;0\; \\ \;0\;\;0\;\;1\;\\ \;0\;\;1\;\;0\; \end{bmatrix}$

Jika E suatu matriks elementer berordo m´m, dan A suatu matriks berordo m´n maka EA hasilnya akan sama dengan matriks yang diperoleh dari A dengan melakukan operasi baris elementer yang sesuai.

Contoh :
$Diketahui :\;\;A=\begin{bmatrix} \;3\;\;-\! 2\; \\ \;0\;\;\;\;\;4\;\\ \;1\;\;\;\;\;7\; \end{bmatrix}R_2_3=\begin{bmatrix} \;3\;\;-\! 2\; \\ \;1\;\;\;\;\;7\;\\ \;0\;\;\;\;\;4\; \end{bmatrix}$

$E_2_3=\begin{bmatrix} \;1\;\;0\;\;0\; \\ \;0\;\;0\;\;1\;\\ \;0\;\;1\;\;0\; \end{bmatrix}$
$EA=\begin{bmatrix} \;1\;\;0\;\;0\; \\ \;0\;\;0\;\;1\;\\ \;0\;\;1\;\;0\; \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \;3\;-\! 2\;\\ \;0\;\;\;\;4\;\\ \;1\;\;\;\;7\; \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \;3\;-\! 2\;\\ \;1\;\;\;\;7\;\\ \;0\;\;\;\;4\; \end{bmatrix}$

Invers Matriks Menggunakan Metode Partisi

Operasi matriks memang sudah sama-sama kita pelajari di bangku SMA. Banyak sekali manfaat dari adanya matriks, salah satunya adalah untuk memudah penyelsaian persamaan simultan. Tipe matriks, Operasi penjumlahan, perkalian, transpose, determinan, kofaktor, adjoin dan proses invers matriks dibahas detail dengan contoh-contoh soal yang representatif.

Berikut adalah beberapa materi penting terkait perhitungan matriks dengan sumber “Modern Power System Control” oleh Prof. Dr. Ir. Imam Robandi, MT.

MENGINVERSE MATRIKS MENGGUNAKAN METODE PARTISI

Matriks sangat penting dalam penyelesaian Multi-Equation Multi-Variable (MEMV), berikut adalah contoh MEMV

Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks dengan komponenya yaitu matriks koefisien, matriks variabel dan matriks output sebagai berikut

Dari persamaan tersebut maka persamaan awal dapat dinyatakan dengan

Dengan hanya berbekal kemampuan menguasai invers matrix dengan dimensi 2x2, maka kita dapat melakukan invers matriks yang berdimensi mxn dengan sangat mudah. Motode partisi dapat membantu perhitungan invers dari matriks-matriks yang berorder tinggi. Matriks inversi A dinotasikan dengan A^-1 yang merupakan pembagian adjoin matriks A dengan determinannya, seperti berikut

Dari persamaan tersebut, maka diketahui bahwa dimensi matriks A sangat besar, maka perhitungan adjoin dan determinannya menjadi sangat rumit. Oleh karena itu, perlu pemecahan menggunakan metode partisi agar dimensi matriks menjadi lebih kecil.

Metode partisi adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menginverse matriks yang berdimensi besar. Sebuah matriks yang akan dicari inversnya dipartisi menjadi 4 matriks sebagai berikut:

Syarat utama dari proses partisi adalah matriks A₁ dan A₄harus bujur sangkar. Untuk memudahkan pengoperasian inversi dari matriks A yaitu A^-1 dapat ditulis sebagai berikut:

Senin, 08 Oktober 2018

Invers Matriks

Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar, dan berlaku $A \cdot B = B \cdot A = I$ maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis $A^{-1}$ . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.
Jika $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ dengan $ad - bc \neq 0$ , maka invers dari matriks A (ditulis $A^{-1}$ ) adalah sebagai berikut:

$A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Jika $ad - bc = 0$ maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
$(B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$
$(A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}$

Contoh: Diketahui A = $\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{bmatrix}$

Selidiki, apakah A dan B saling invers?

Penyelesaian :

Matriks A dan B saling invers jika berlaku A × B = B × A = I.

A × B = $\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=I$

B × A = $\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=I$

Karena A × B = B × A maka A dan B saling invers, dengan A^–1 = B dan B^–1 = A.

Menentukan Invers Matriks Berordo 2 × 2

Misalkan diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ , dengan ad – bc ≠ 0.

Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A^–1 . Dengan demikian, berlaku :

AA^–1 = A^–1A = I

Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular, yaitu det A ≠ 0. Sebaliknya, jika A matriks singular (det A = 0) maka matriks ini tidak memiliki invers.

Misalkan matriks A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ dan matriks B = $\begin{bmatrix} p & q\\ r & s \end{bmatrix}$ sehingga berlaku A × B = B × A = I. Kita akan mencari elemen-elemen matriks B, yaitu p, q, r, dan s.

Dari persamaan A × B = I, diperoleh :

$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p & q\\ r & s \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} ap+br & aq+bs\\ cp+dr & cq+ds \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Jadi, diperoleh sistem persamaan :

ap + br = 1 dan aq + bs = 0

cp + dr = 0 cq + ds = 1

Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kalian peroleh :

$p=\frac{d}{ad-bc},\: r=\frac{-c}{ad-bc},\: q=\frac{-b}{ad-bc},\: dan\: s=\frac{a}{ad-bc}$

Dengan demikian,

Matriks B memenuhi A × B = I.

Sekarang, akan kita buktikan apakah matriks B × A = I?

Karena ad – bc ≠ 0, berlaku B × A = $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ = I

Karena A × B = B × A = I maka B = A^–1.

Jadi, jika A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ maka inversnya adalah :

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}$

untuk ad – bc ≠ 0.

Menentukan Invers Matriks Berordo 3 × 3 (Pengayaan)

Invers matriks berordo 3 × 3 dapat dicari dengan beberapa cara. Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan cara adjoin dan transformasi baris elementer.

a. Dengan Adjoin

Pada subbab sebelumnya, telah dijelaskan mengenai determinan matriks. Selanjutnya, adjoin A dinotasikan adj (A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu :

adj(A) = (kof(A))^T

Adjoin A dirumuskan sebagai berikut.

Invers matriks persegi berordo 3 × 3 dirumuskan sebagai berikut.

$A^{-1}=\frac{1}{det\: A}adj\left ( A \right )$

Adapun bukti tentang rumus ini akan kalian pelajari lebih mendalam dijenjang pendidikan yang lebih tinggi.

Contoh Soal 19 :

Diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} 1 & 2&1\\ 2 & 3&4\\ 1 & 2&3 \end{bmatrix}$ . Tentukan invers matriks A, misalnya kita gunakan perhitungan menurut baris pertama.

Jawaban :

Terlebih dahulu kita hitung determinan A.

det A = $det\: A=1\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 2 & 3 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

= 1(1) – 2(2) + 1(1) = –2

Dengan menggunakan rumus adjoin A, diperoleh :

adj(A) = $\begin{bmatrix} 1 & -4& 5\\ -2 & 2& -2\\ 1 & 0& -1 \end{bmatrix}$

Jadi, A^–1 dapat dihitung sebagai berikut.

b. Dengan Transformasi Baris Elementer

Untuk menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut.

1) Bentuklah matriks (A_n | I_n), dengan In adalah matriks identitas ordo n.

2) Transformasikan matriks (A_n | I_n) ke bentuk (I_n | B_n), dengan transformasi elemen baris.

3) Hasil dari Langkah 2, diperoleh invers matriks A_n adalah B_n.

Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah :

a) B_i ↔ B_j : menukar elemen-elemen baris ke-i dengan elemen-elemen baris ke-j;

b) k.B_i : mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar k;

c) B_i + kB_j : jumlahkan elemen-elemen baris ke-i dengan k kali elemen-elemen baris ke-j.

Contoh Soal 20 :

Tentukan invers matriks A = $\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3 \end{bmatrix}$ dengan transformasi baris elementer.

Penyelesaian :

invers matriks A dengan transformasi baris elementer

Jadi, diperoleh A^–1 = $\begin{bmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{bmatrix}$

Keterangan :

1/2 B₁ : Kalikan elemen-elemen baris ke-1 dengan 1/2.

B₂ – 5B₁ : Kurangkan baris ke-2 dengan 5 kali elemen-elemen baris ke-1.

B₁ – B₂ : Kurangi elemen-elemen baris ke-1 dengan elemen-elemen baris ke-2.

2B₂ : Kalikan elemen-elemen baris ke-2 dengan 2.

Contoh Soal 21 :

Tentukan invers matriks A = $\begin{bmatrix} 1 & 1& 0\\ 2 & 3& 2\\ 2 & 1& 3 \end{bmatrix}$ dengan transformasi baris elementer.

Jawaban :