Ruang Baris Dan Kolom

Ruang Baris Dan Kolom

Definisi:
Jika A adalah suatu matriks m x n maka :

1. sub ruang dari R yang terentang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A.
2. sub ruang dari R yang terentang oleh vektor-vektor kolomdisebut ruang kolom dari A.
3. Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen Ax=0, yang merupakan suatu sub ruang dari R disebut ruang null dari A.

Bentuk umum:










 

Transformasi Linear

TRANSFORMASI LINEAR

Dalam bagian ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vektor dari sebuah peubah vektor. Yakni, fungsi yang berbentuk w = F(v), dimana baik peubahbebas v maupun peubah tak-bebas w adalah vektor. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vektor yang kita namakan transformasi linear. Kelompok fungsi ini mempunyai banyak penerapan penting dalam fisika, bidang teknik, ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika.

Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka kita katakana Fmemetakan V ke dalam W, dan kita tuliskan F:VàW. lebih lanjut lagi, jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita tuliskan w = F(v) dan kita katakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. ruang vektor V dinamakan domainF.

Untuk melukiskannya, jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di R², maka rumusnya

Mendefenisikan sebuah fungsi yang memetakan R² ke dalam R³. Khususnya jika v = (1,1), maka x = 1 dan y = 1, sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1,2,0) dengan demikian , domain F adalah R².

Defenisi, jika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F kita namakan transformasi linear ( linear transformasi) jika

(i) F(u + v) = F (u) + F (v) untuk semua vektor u dan v di V.

(ii )F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.

Untuk melukiskannya, misalnya F:R²àR³ adalah fungsi yang didefinisikan oleh pers. 1, , sehingga

           

Demikian juga, jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx₁, ky₁), sehingga

Jadi, F adalah sebuah transformasi linear.

Jika F:VàW adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v₁ dan v₂ di V dan sebarang skalar k₁ dan k₂, kita peroleh

Demikian juga, jika v₁, v₂, ……,v_n adalah vektor-vektor di V dan k₁, k₂,…….k_n adalah skalar, maka

Kita sekarang memberikan contoh lebih lanjut mengenai transformasi linear.

Contoh:

Misalkan A adalah sebuah matriks m x n tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di R^m dan Rⁿ, maka dapat kita defenisikan sebuah fungsi T :RⁿàR^mdengan :

T(x) = Ax

Perhatikan bahwa jika x adalah sebuah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rⁿ ke dalam R^m. lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalkan u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian matriks, maka kita dapatkan

Atau secara ekivalen

Kita menamakan transformasi linear pada contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.

B.     SIFAT TRANSFORMASI LINEAR : KERNEL DAN JANGKAUAN

 

Pada  bagian ini kita mengembangkan beberapa sifat dasar transformasi linear. Khususnya, kita memperlihatkan bahwa sekali bayangan vektor basis di bawah transformasi linear telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan vektor yang selebihnya dalam ruang tersebut.

Teorema 1.Jika T:V             W adalahtransformasi linier, maka : (a)    T(0)  = 0 (b)   T(-v) = -T(v) untuksemua v di V (c)    T(v-w) = T(v) – T(w) untuksemu v dan w di V.

 

Bukti, Misal v adalah sebarang vektor di V. Karena 0v = 0 maka kita peroleh

T(0) = T(0v) = 0T(v) = 0

Yang membuktikan (a).

            Juga, T(-v) = T [(-1)v] = (-1)T(v) –T(v), yang membuktikan (b).

            Akhirnya, v - w = v + (-1)w; jadi

T(v-w) = T(v + (-1)w)

= T(v) + (-1) T(w)

= T(v) – T(w)

Definisi.Jika T:V         W adalahtransformasi linear, makahimpuanvektor di V yang dipetakan T kedalam 0 kitanamakankernel (ruangnol) dari T; himpuantersebutdinyatakanolehker (T). Himpunansemuavektor di W yang merupakanbayangan di bawah T dari paling sedikitatauvektor di V kitanamakanjangkauandari T; himpunantersebutdinyatakanoleh  R(T).

              

Teorema 2.Jika V:T       W adalahtransformasi linear, maka : (a)    Kernel dari T adalahsubruangdari  V. (b)   Jangkauandari T adalahsubruangdari W.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

Bukti. 

(a) Untuk memperlihatkan  bahwa ker(T) adalah subruang, maka kita harus memperlihatkan bahwa  ker(T) tersebut tertutup di bawah pertambahan dan perkalian skalar. Misalkan v₁ dan v₂ adalah vektor-vektor  dalam ker(T), dan misalkan k adalah sebarang skalar. Maka

T (v₁ + v₂ )       = T(v₁) + T(v₂)

 = 0 + 0 = 0

Sehingga v₁ + v₂ berada dalam ker(T). Juga,

                                                T(k v₁) = kT(v₁) = k0 =0

Sehingga k v₁  berada dalam ker(T).

(b)           Misalkan w_{1 dan} w₂ adalah vektor  dalam jangkauan T. Untuk membuktikan bagian ini maka harus kita perlihatkan bahwa w₁ + w₂ dan k w₁ berada dalam jangkauan T untuk sebarang skalar k; yakni, kita harus mencari vektor a dan b di V sehingga T(a) = w₁ + w₂  dan T(b) = k w₁.

Karena w₁ dan w₂ berada dalam jangkauan T, maka vektor a₁ dan a₂ dalam V sehingga T(a₁) = w₁ dan T(a₂) = w₂. Misalkan a = a₁ +a₂ dan b = ka₁. Maka

                                    T(a) = T(ka₁) = kT(a₁) = kw₁

Yang melengkapkan bukti tersebut.

Definisi.Jika T:V         W adalahtransformasi linear, makadimensijangkauandari T dinamkanrankT, dandimensi kernel dinamakannulitas (nullity) T.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

Teorema kita berikutnya menghasilkan hubungan diantara rank dan nulitasn dari transformasi linear yang yang didefinisikan pada ruang vektor berdimensi berhingga. Kita akan menagguhkan buktinya hingga ke akhir bagian ini.

Teorema 3: (TeoremaDimensi). Jika T:V W adalahtransformasi linear dariruang vector V yang berdimensi n kepadasebuahruang vector W, maka:             (rankdari T) + (nulitasdari T) = n……(5.4)

 

Dengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa rank + nulitas dari transformasi linear sama dengan dimensi domainnya.

            Dalam kasus-kasus ndimana V = Rⁿ , W = R^m , dan T:V à W merupakan perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n , berikutnya dari (5.4) dan contoh lain diatas bahwa:

                                    Rank(A) = dim(ruang pemecahan Ax = 0) = n

Jika A adalahmatriks m x n makadimensiruangpemecahandari Ax = 0 adalah n = rank(A)

Jadi, kita punya teorema berikut

Jelasnya, teorema ini menyatakan bahwa dimensi ruang pemecahan Ax = 0 sama dengan jumlah kolom A kurang rank A.

PERNYATAAN. Karena system linear homogen Ax = 0 harus konsisten, berikutnya dari teorema 18. Bagian 4.6 bahwa rank matriks A sama dengan jumlah parameter dalam pemecahan Ax = 0. Dengan menggunakan hasil ini dengan teorema 4, selanjutnya dengan mengacu pada ruang pemecahan Ax = 0 akan sama dengan jumlah kolom A kurang jumlah parameter dalam pemecahan Ax= 0

Contoh

Pada contoh contoh sebelumnya kita telah memperlihatkan bahwa system homogeny

                                    2x₁ + 2x₂ – x₃   +x₅ = 0

                                    -x₁ + x_{2 +} 2x₃ – 3x₄  + x₅ = 0

                                     X₁  +x₂ – 2x₃      - x₅ = 0

                                                  X₃  +  x₄  + x₅  = 0

Mempunyai ruang pemecahan berdimensi dua, dengan memecahkan system tersebut dan dengan mencari sebuah basis. Karena matriks koefisien

Sehingga rank (A) = 3. Anda dapat memeriksa hasil ini dengan mereduksi A pada bentuk eselon baris dan dengan memperlihatkan bahwa matriks yang dihasilkan mempunyai tiga baris tak 0.

Bukti teorema 3.

Kita harus memperlihatkan bahwa

                                    Dim [R(T)] + dim [ker(T] + n

Kita akan memberikan bukti tersebut untuk kasus dimana 1≤dim[ker(T)≤. Kasus dim[ker(T)] = 0 dan dim [ker(T)] = n sengaja kami biarkansebagai latihan anda. Anggaplah dim [ker(T)] = r, dan misalkan v₁,…., v_r adalah sebuah basis untuk kernel tersebut. Karena {v₁,……,v_r} bebas linear, maka bagian (c) dari teorema 11 dalam bagian 4.5 menyatakan bahwa terdapat n-r vector, v_r+1,….v_n, sehingga {v₁, …, v_r, v_r+1, …,v_n} adalah sebuah basisi untuk V. untuk melengkapkan bukti tersebut, kita akan memperlihatkan bahwa vector ke n-r dalam himpunan S= {T(v_r+1),…, T(v_n) membentuk sebuah basis untuk jangkauan T. maka jelaslah bahwa :

Mula-mula kita memperlihatkan bahwa S merentang jangkauan T. jika b adalah sembarang vector dalam jangkauan T, makan b = T(v) untuk suatu vector v dalam V. karena {v₁, …, v_r, v_r+1, …,v_n} adalah basis untuk V, maka dapat dituliskan dalam bentuk

Karena v₁,…, v_r terletak dalam kernel T, maka T(v₁) = … = T(v_r) = 0, sehingga

Jadi, S merentang jangkauan T.

            Akhirnya, kita memperlihatkan bahwa S adalah sebuah himpunan bebhas dan sebagai konsekuansinya maka akan membentuk basis untuk jangkauan T. misalkan suatu kombinasi linear dari vector-vektor di S adalah nol; yakni,

Kita harus memperlihatkan bahwa k_r+1 = … = k_n =0. Karena T linear,maka (5,5) dapat dituliskan kembali sebagai

Yang mengatakan bahwa k_r+1v_r+1 + … + k_nv_n = berada dalam kernel T. maka vector ini dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis {v₁, …, v_r} katakanlah,

Jadi,

Karena {v₁, …, v_n} bebas linear, maka semuanya k sama dengan nol; khususnya k_r+1 = … = k_n =0, yang melengkapi bukti tersebut .

 

Basis Dan Dimensi

BASIS DAN DIMENSI


Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :
Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :
i. S bebas linier; ii. S serentang V.
Contoh 1
Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa S = { e1, e2, … , en } adalah himpunan bebas linier dengan Rn. Karena setiap vector v = (v1, v2, … , vn) pada Rn dapat dituliskan sebagai v = v1e1 + v2e2 + … + vnen, maka S merentang Rn sehingga S adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rn.
Contoh 2
Misalkan v1 = ( 1, 2, 1 ), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3.
Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
b = k1v1 + k2v2 + k3v3
dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan
( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 ) atau ( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4k3 )
atau
k1 + 2k2 + 3k3 = b1 2k1 + 9k2 + 3k3 = b2 k1 + 4k3 = b3 (1.1)
Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b1, b2, b3 ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari
k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 (1.2) adalah k1 = k2 = k3 = 0
seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut homogen
k1 + 2k2 + 3k3 = 0 2k1 + 9k2 + 3k3 = 0 k1 + 4k3 = 0 (1.3)
hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a), (b), (d) dari Teorema 15 pada bagian Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R3 dengan memperlihatakan bahwa matriks koefisien
Pada system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik. Karena
maka jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat Fungsi Determinan bahwa A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R3.
Contoh 3 Himpunan S = { 1, x, x2, … , xn } merupakan basis untuk ruang vector Pn yang diperkenalkan dalam contoh 13 pada bagian Subruang. Dari contoh 18, vector – vector pada S merentang Pn. Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa suatu kombinasi linier dari vector – vector S adalah vector nol, yakni
c0 + c1x + … + cnxn = 0 (untuk semua x) (1.4)
Kita harus perlihatkan bahwa c0 = c1 = … = cn = 0. Dari aljabar kita ketahui bahwa polinom taknol berderajat n mempunyai paling banyak n akar yang berbeda. Karena (1.4) memenuhi untuk semua x, maka setiap nilai x adalah sebuah akar dari ruas kiri, hal ini berarti bahwa c1 = c2 = … = cn = 0; kalau tidak, maka c0 + c1x + … cnxn dapat mempunyai paling banyak n akar. Maka himpunan S adalah himpunan bebas linier.
Basis S dalam contoh ini dinamakan basis baku untuk Pn.

1. Basis
   Jika V ruang vektor dengan A = {v1, v2, v3, …. ,vn} A dapat disebut basis, tetapi syaratnya adalah :
   • A itu termasuk bebas linear
   • A itu membangun V
   Ok, kita sekarang latihan bebas linear dulu yakz ^_^
   Bebas = tidak berkelipatan, atau tidak ada vektor 0 contoh sederhana :
   A={1, 0, 3} B = {4, 5, 6} << bebas linear, kan gak berkelipatan
   X={3, 4, 1} Y={6, 8, 2} << bergantung linear, kan berkelipatan X=2Y
   T={5,5,7} U={1, 4, 5} V={0, 0, 0} << tetap bergantung, kan ada vektor 0
   Ok mudeng ya berarti, sekarang langkah ke dua A membangun V
   Berarti otomatis kudu ada 3 vektor kan ? kalo kurang ya gak bisa :p
   Langsung contoh yakz
   Apakah vektor dibawah ini termasuk basis R³
   X={1,4,5}  Y={3,5,2} Z= {4,8,7}  << berarti ini termasuk basis R³
   Z={0,0,0} A={4,1,2} B={5,5,5} << bukan wong ini bergantung linear
2. Dimensi
   Nah, gini kalau dimensi kita liat yang bergantung linear (yang bebas linear juga gpp haha). Langsung contoh saja ya @_@Tentukan basis dan dimensi dari vektor berikut ini : U={1,2,3} V={4,9,2} W={4,4,4} << dimensinya ada 3 (kan ketiganya bebas linear) jadi basisnya {U,V,W}
   V={2,4,6}  W={4,8,12} X={2,1,2} << dimensinya ada 2 (kan yang V sama W itu bergantung linear :D) basisnya {V,X} atau {W,X}
   A={2,1,1} B={4,2,2} C={6,3,3} << dimensinya ada 1(semuanya kan bergantung linear :D) basisnya ya {A}atau {B} atau {C} hehe.

Bebas Linear

Bebas Linear

Definisi

Jika S = {v₁, v₂, v₃, ……………,v_n}adalah himpunan vector sedemikian sehingga, k₁v₁+ k₂v₂ + … + k_nv_n = 0 maka S = {v₁, v₂, v₃,..., v_n} disebut :

1.       Bebas linier apabila scalar-skalar k₁, k₂,…,k_nsemuanya nol.

2.       Bergantung linier apabila scalar-skalar k1, k2, k3,…, kn tidak semuanya nol.

Ciri-Ciri Bebas Linear

●        Himpunan vector S bebas linier jika system persamaan linier hanya mempunyai penyelesaian trivial (nol).

●        Himpunan vector S bergantung linier jika system persamaan linier mempunyai persamaan non trivial.

●        Vektor S merupakan bebas linear apabila

1.  Matrik tersebut det(S) ≠ 0.

                   2 Ketiga vector tersebut mempunyai invers (sehingga dapat dibalik)

Kebebasan Linear

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Jump to navigation Jump to search

Dalam aljabar linear, sekelompok vektor disebut bebas linear apabila masing-masingnya tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain. Sekelompok vektor yang tidak memenuhi syarat ini dinamakan bergantung linier.
Sebagai contoh, dalam sebuah ruang vektor riil tiga dimensi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ kita bisa mengambil tiga vektor berikut:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{bebas linear}}\qquad \\\underbrace {\overbrace {{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\2\\-2\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}}} ,{\begin{bmatrix}4\\2\\3\end{bmatrix}}} \\{\mbox{bergantung linear}}\\\end{matrix}}}$

Tiga vektor pertama adalah bebas linear, namun vektor keempat sama dengan 9 kali vektor pertama ditambah 5 kali vektor kedua ditambah 4 kali vektor ketiga, sehingga keempat vektor tersebut bergantung linear. Kebebasan linear adalah sifat sekelompok vektor, bukan sifat vektor tunggal. Kita dapat menulis vektor pertama sebagai kombinasi linear tiga vektor berikutnya.

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\left(-{\frac {5}{9}}\right)\mathbf {v} _{2}+\left(-{\frac {4}{9}}\right)\mathbf {v} _{3}+{\frac {1}{9}}\mathbf {v} _{4}.}$

 

Definisi Normal 

 

Sebuah himpunan bagian dari ruang vektor V disebut bergantung linear bila ada sejumlah terhingga vektor berbeda-beda v₁, v₂, ..., v_n dalam S dan skalar a₁, a₂, ..., a_n, yang tidak semuanya nol, sehingga

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .}$

Perhatikan bahwa nol di ruas kanan adalah vektor nol, bukan bilangan nol.
Bila persamaan tersebut hanya dipenuhi oleh skalar-skalar nol, vektor tersebut disebut bebas linear.
Bebas linear dapat didefinisikan sebagai berikut: suatu himpunan vektor v₁, v₂, ..., v_n dikatakan bebas linear jika kombinasi linear nol atas vektor-vektor tersebut hanya dipenuhi oleh solusi trivial; yaitu jika a₁,a₂,...,a_n adalah skalar sehingga

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }$

jika dan hanya jika a_i = 0 untuk semua i = 1, 2, ..., n.