Diagonalisasi

DIAGONALISA
 Diagonalisasi. Diberikan sebuah operator linier T : V → V pada sebuah ruang vector berdimensiberhingga, apakah terdapat sebuah basis untuk V terhadap mana matriks T diagonal?

Jika A adalah matriks untuk T : V→ V yang bertalian dengan beberapa basis sembarang, maka soal ini ekivalen dengan menanyakan apakah terdapat perubahan basis sehingga matriks baru untuk T diagonal. Menurut teorema 8 dalam bagian 5.5, matriks baru untuk T akan sama dengan P^-1 AP dimana P adalah matriks transisi yang sesuai. Jadi, kita sampai kepada perumusan matriks berikut yang berbentuk masalah diagonalisasi.

Bentuk matriks dari masalah diagonalisasi. Diketahui matriks kuadrat A, apakah terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P^-1 AP diagonal?

Masalah ini menyarankan definisi – definisi berikut.

Definisi.  Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi ( diagonalizable) jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P^-1 AP diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A.

      Teorema berikut adalah alat dasar dalam pengkajian diagonalisasi; buktinya akan mengungkapkan bagaimana mendiagonalkan matriks.

Teorema 2. Jika A adalah matriks n × n, maka pernyataan – pernyataan berikut ekivalen satu sama lain.

(a)    A dapat didiagonalisasi.

(b)   A mempunyai n vector eigen bebas linier

Bukti (a) → (b). karena A dianggap dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang dapat di balik

P=

Sehingga P^-1  AP diagonal, katakanlah P^-1 AP = D, dimana

D=

Maka, AP = PD ; yakni

AP =  (6.4)

Jika sekarang kita misalkan p₁, p₂, . . . , p_n menyatakan vector – vector kolom P, maka bentuk (6.4) kolom – kolom AP yang berurutan adalah λ₁P₁,λ₂P₂, . . . , λ_nP_n . akan tetapi, dari contoh 18 bagian 1.4 kolom – kolom AP yang berurutan adalah Ap₁, Ap₂, . . . ,Ap_n. jadi, harus kita memperoleh

Ap₁ = λ₁P₁, AP₂ =  λ₂P_{2, . . . ,} Ap_n = λ_nP_n          (6.5)

Karena P dapat dibalik, maka vector – vector kolomnya semuanya tak nol; jadi menurut (6.5), λ_1, λ_2, . . . , λ_n adalah nilai – nilai eigen A, dan p₁, p₂ , . . . , p_n adalah vector – vector eigen yang bersesuaian. Karena P dapat dibalik, maka teorema 15 dalam bagian 6.4 diperoleh bahwa p₁, p₂ , . . . , p_n bebas linier. Jadi, A mempunyai n vector eigen bebas linier.

(b)   → (a) anggaplah bahwa A mempunyai n vector eigen bebas linier, maka p₁, p₂ , . . . , p_n dengan nilai eigen yang bersesuaian λ₁, λ₂, . . . , λ_n dan misalkan

P=

Adalah mastriks yang vector – vector kolomnya adalah p₁, p₂ , . . . , p_n. menurut contoh 17 pada bagian 1.4, kolom – kolom dari hasil kali AP adalah

Ap_1, Ap_2, . . . , Ap_n

Tetapi

Ap₁ = λ₁P₁, AP₂ =  λ₂P_{2, . . . ,} Ap_n = λ_nP_n

Sehingga

AP= =  =PD   (6.6)