Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :
Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :
i. S bebas linier; ii. S serentang V.
Contoh 1
Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa S = { e1, e2, … , en } adalah himpunan bebas linier dengan Rn. Karena setiap vector v = (v1, v2, … , vn) pada Rn dapat dituliskan sebagai v = v1e1 + v2e2 + … + vnen, maka S merentang Rn sehingga S adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rn.
Contoh 2
Misalkan v1 = ( 1, 2, 1 ), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3.
Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
b = k1v1 + k2v2 + k3v3
dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan
( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 ) atau ( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4k3 )
atau
k1 + 2k2 + 3k3 = b1 2k1 + 9k2 + 3k3 = b2 k1 + 4k3 = b3 (1.1)
Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b1, b2, b3 ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari
k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 (1.2) adalah k1 = k2 = k3 = 0
seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut homogen
k1 + 2k2 + 3k3 = 0 2k1 + 9k2 + 3k3 = 0 k1 + 4k3 = 0 (1.3)
hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a), (b), (d) dari Teorema 15 pada bagian Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R3 dengan memperlihatakan bahwa matriks koefisien
Pada system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik. Karena
maka jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat Fungsi Determinan bahwa A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R3.
Contoh 3 Himpunan S = { 1, x, x2, … , xn } merupakan basis untuk ruang vector Pn yang diperkenalkan dalam contoh 13 pada bagian Subruang. Dari contoh 18, vector – vector pada S merentang Pn. Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa suatu kombinasi linier dari vector – vector S adalah vector nol, yakni
c0 + c1x + … + cnxn = 0 (untuk semua x) (1.4)
Kita harus perlihatkan bahwa c0 = c1 = … = cn = 0. Dari aljabar kita ketahui bahwa polinom taknol berderajat n mempunyai paling banyak n akar yang berbeda. Karena (1.4) memenuhi untuk semua x, maka setiap nilai x adalah sebuah akar dari ruas kiri, hal ini berarti bahwa c1 = c2 = … = cn = 0; kalau tidak, maka c0 + c1x + … cnxn dapat mempunyai paling banyak n akar. Maka himpunan S adalah himpunan bebas linier.
Basis S dalam contoh ini dinamakan basis baku untuk Pn.
- Basis
Jika V ruang vektor dengan A = {v1, v2, v3, …. ,vn} A dapat disebut basis, tetapi syaratnya adalah :- A itu termasuk bebas linear
- A itu membangun V
Bebas = tidak berkelipatan, atau tidak ada vektor 0 contoh sederhana :
A={1, 0, 3} B = {4, 5, 6} << bebas linear, kan gak berkelipatan
X={3, 4, 1} Y={6, 8, 2} << bergantung linear, kan berkelipatan X=2Y
T={5,5,7} U={1, 4, 5} V={0, 0, 0} << tetap bergantung, kan ada vektor 0
Ok mudeng ya berarti, sekarang langkah ke dua A membangun V
Berarti otomatis kudu ada 3 vektor kan ? kalo kurang ya gak bisa :p
Langsung contoh yakz
Apakah vektor dibawah ini termasuk basis R3
X={1,4,5} Y={3,5,2} Z= {4,8,7} << berarti ini termasuk basis R3
Z={0,0,0} A={4,1,2} B={5,5,5} << bukan wong ini bergantung linear - Dimensi
Nah, gini kalau dimensi kita liat yang bergantung linear (yang bebas linear juga gpp haha). Langsung contoh saja ya @_@Tentukan basis dan dimensi dari vektor berikut ini : U={1,2,3} V={4,9,2} W={4,4,4} << dimensinya ada 3 (kan ketiganya bebas linear) jadi basisnya {U,V,W}
V={2,4,6} W={4,8,12} X={2,1,2} << dimensinya ada 2 (kan yang V sama W itu bergantung linear :D) basisnya {V,X} atau {W,X}
A={2,1,1} B={4,2,2} C={6,3,3} << dimensinya ada 1(semuanya kan bergantung linear :D) basisnya ya {A}atau {B} atau {C} hehe.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar