Bebas Linear

Bebas Linear

Definisi

Jika S = {v₁, v₂, v₃, ……………,v_n}adalah himpunan vector sedemikian sehingga, k₁v₁+ k₂v₂ + … + k_nv_n = 0 maka S = {v₁, v₂, v₃,..., v_n} disebut :

1.       Bebas linier apabila scalar-skalar k₁, k₂,…,k_nsemuanya nol.

2.       Bergantung linier apabila scalar-skalar k1, k2, k3,…, kn tidak semuanya nol.

Ciri-Ciri Bebas Linear

●        Himpunan vector S bebas linier jika system persamaan linier hanya mempunyai penyelesaian trivial (nol).

●        Himpunan vector S bergantung linier jika system persamaan linier mempunyai persamaan non trivial.

●        Vektor S merupakan bebas linear apabila

1.  Matrik tersebut det(S) ≠ 0.

                   2 Ketiga vector tersebut mempunyai invers (sehingga dapat dibalik)

Kebebasan Linear

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Jump to navigation Jump to search

Dalam aljabar linear, sekelompok vektor disebut bebas linear apabila masing-masingnya tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain. Sekelompok vektor yang tidak memenuhi syarat ini dinamakan bergantung linier.
Sebagai contoh, dalam sebuah ruang vektor riil tiga dimensi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ kita bisa mengambil tiga vektor berikut:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{bebas linear}}\qquad \\\underbrace {\overbrace {{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\2\\-2\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}}} ,{\begin{bmatrix}4\\2\\3\end{bmatrix}}} \\{\mbox{bergantung linear}}\\\end{matrix}}}$

Tiga vektor pertama adalah bebas linear, namun vektor keempat sama dengan 9 kali vektor pertama ditambah 5 kali vektor kedua ditambah 4 kali vektor ketiga, sehingga keempat vektor tersebut bergantung linear. Kebebasan linear adalah sifat sekelompok vektor, bukan sifat vektor tunggal. Kita dapat menulis vektor pertama sebagai kombinasi linear tiga vektor berikutnya.

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\left(-{\frac {5}{9}}\right)\mathbf {v} _{2}+\left(-{\frac {4}{9}}\right)\mathbf {v} _{3}+{\frac {1}{9}}\mathbf {v} _{4}.}$

 

Definisi Normal 

 

Sebuah himpunan bagian dari ruang vektor V disebut bergantung linear bila ada sejumlah terhingga vektor berbeda-beda v₁, v₂, ..., v_n dalam S dan skalar a₁, a₂, ..., a_n, yang tidak semuanya nol, sehingga

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .}$

Perhatikan bahwa nol di ruas kanan adalah vektor nol, bukan bilangan nol.
Bila persamaan tersebut hanya dipenuhi oleh skalar-skalar nol, vektor tersebut disebut bebas linear.
Bebas linear dapat didefinisikan sebagai berikut: suatu himpunan vektor v₁, v₂, ..., v_n dikatakan bebas linear jika kombinasi linear nol atas vektor-vektor tersebut hanya dipenuhi oleh solusi trivial; yaitu jika a₁,a₂,...,a_n adalah skalar sehingga

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }$

jika dan hanya jika a_i = 0 untuk semua i = 1, 2, ..., n.